Maths 3D : Matrices et calcul matriciel

Les matrices, les matrices, … les matrices ?!
Manque d’inspiration, rejet (in)conscient ou encore peur de l’échec explicatif, j’ai mis un peu plus de temps que prévu pour sortir cet article, j’espère que cela aura servi à le rendre au moins compréhensible.
Avant d’attaquer cette partie, je ne peux que (doublement) vous recommander d’être un pro du vecteur ou, à défaut, au moins d’en comprendre les principes.
Je vous invite donc à lire ou relire l’article sur les opérations sur les vecteurs !

Votre ceinture est attachée, votre tablette rabattue, on peut commencer, accrochez-vous celui-ci est (encore) un peu salé !

Les matrices, c’est queuah ?

L’article Wikipédia, vous ayant assommé dès la première phrase, je vais tenter de le faire plus concis (sinon, aucun intérêt de venir ici j’imagine) : une matrice est un tableau de nombres !
Ok, c’est plus concis, mais en fait ça n’avance en rien votre quête de savoir (en plus d’être également presque le début de l’article Wikipédia), cependant, c’est exactement ce que c’est.

Une matrice est un tableau de nombre à n lignes et p colonnes.
L’avantage principal sur les matrices, c’est que c’est plutôt visuel, par exemple, une matrice de 3 lignes et de 2 colonnes (n=3, p=2) est représentée de la sorte :

\begin{pmatrix}x & u \\ y & v \\ z & w \end{pmatrix} ou encore \begin{bmatrix}x & u \\ y & v \\ z & w \end{bmatrix}

Si vous avez suivi les vecteurs, vous avez déjà un temps d’avance;

Matrices remarquables

Avant de passer dans le gras du calcul matriciel, voici quelques matrices remarquables qui vous seront potentiellement utiles.

Matrice colonne

Une matrice colonne est une matrice à une colonne (p=1).
Une matrice colonne n’est rien de plus (ni de moins) qu’un vecteur colonne.

\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} ;

Matrice ligne

Une matrice ligne est … (roulements de tambours) … une matrice à une ligne (n=1).
Une matrice ligne n’est également rien de plus (et toujours rien de moins) qu’un vecteur ligne.

\begin{pmatrix}x & y & z \end{pmatrix} ;

Matrice carrée

Si une matrice a le même nombre de colonnes et de lignes (n=p), alors on appelle cela une matrice carrée :

\begin{pmatrix}x & u & r \\ y & v & s \\ z & w & t \end{pmatrix} ;

Matrice diagonale

Sur une matrice carrée, les nombres situés entre le bord en haut à gauche de la matrice et en bas à droite forment une diagonale.
Cette diagonale est appelée la diagonale principale.
Si une matrice carrée contient uniquement des nombres sur sa diagonale principale, et tous les autres nombres à 0 (zéro), alors on appelle cela une matrice diagonale.

Tous les termes de la diagonale principale ne nécessitent pas forcément d’être non-nuls, par exemple, si une matrice carrée est entièrement remplie de 0, c’est également une matrice diagonale (puisque les autres termes sont à 0).

Voici trois exemples de matrices diagonales :

\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ;

Matrice identité

La matrice identité est une matrice diagonale qui a sa diagonale principale remplie par des 1.
Tous les autres chiffres sont des 0 (zéro), si vous avez suivi la matrice diagonale, vous comprendrez que ça ne peut de toutes façons pas être différent.

\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ;

RETENEZ CETTE MATRICE, oh oui, retenez là si vous comptez ne serait-ce que commencer la 3D, c’est une matrice essentielle et elle permet d’effectuer de nombreux calculs utiles.

Matrice triangulaire

Si, sur une matrice carrée, tous les termes au dessus de la diagonale principale sont nuls (à zéro), alors on appelle cela une matrice triangulaire inférieure.
Si, sur une matrice carrée, tous les termes en dessous de la diagonale principale sont nuls (à zéro), alors on appelle cela une matrice triangulaire supérieure.
Si vous n’avez rien compris, regardez les exemples et relisez juste après, normalement vous devriez avoir le déclic.

\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 6 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix} est une matrice triangulaire inférieure

\begin{pmatrix}1 & 7 & 6 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} est une matrice triangulaire supérieure

Matrice symétrique

Je vous conseille de revenir sur celle-ci une fois que vous aurez lu la transposition de matrice.

Si une matrice carrée après transposition est strictement similaire à la matrice d’origine, alors c’est une matrice symétrique.

Visuellement, on peut voir que les termes de part et d’autre de la diagonale principale sont « en miroir » :

\begin{pmatrix}1 & x & y \\ x & 84 & z \\ y & z & 8 \end{pmatrix} ou encore \begin{pmatrix}10 & a & b & c \\ a & 8 & d & e \\ b & d & 7 & f \\ c & e & f & 4 \end{pmatrix} ;

Matrice bonus (celle-là est gratuite … et inutile)

Et qu’est-ce qu’une matrice à 1 colonne et 1 ligne, me demanderez-vous, et bien je vous laisse le soin de réfléchir :

\begin{pmatrix}84\end{pmatrix} (indice : ça ressemble fortement à un nombre …)

Il existe quelques autre matrices remarquables, mais celles-ci sont les principales et plus communes.
Finalement, cette introduction ne s’est pas trop mal passée (il me semble), si on avançait un peu maintenant ?

Calcul matriciel, (2, 4, 2) + (4, 2, 4) = the number of the beast !

On y est, vous avez attendu ce jour depuis votre naissance et il est enfin temps de vous y coller.
En vrai, c’est plutôt de la rigolade, tout est très intuitif; même si la théorie peut être un peu chiante, je vais tenter de vous faire passer ce moment de la manière la moins brutale possible (la référence à Iron Maiden devant être la chose la plus brutale du chapitre normalement).

Allez, on démarre tranquillement :

Addition entre matrices

L’addition entre matrices se passe exactement comme vous imaginez qu’elle puisse se passer.
Prenons une matrice A et une matrice B.
Tout d’abord, détail très important : seules des matrices ayant le même format peuvent être additionnées entre elles (An=Bn, Ap=Bp).
Chaque terme de la matrice A sera additionné avec le terme correspondant sur la matrice B (même ligne, même colonne).
Pas plus à dire là dessus, voici un exemple :

\begin{pmatrix}3 & 5 & 7 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}6 & 0 & -2 \\ 3 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3+6 & 5+0 & 7+(-2) \\ 2+3 & 4+5 & 6+1 \\ 0+1 & 1+1 & 4+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9 & 5 & 5 \\ 5 & 9 & 7 \\ 1 & 2 & 5 \end{pmatrix} ;

Il est à observer et noter que, au même titre que les additions entre nombres, les additions entre matrices sont commutatives (c’est à dire que A + B = B + A), je vous invite à vérifier par vous même si vous en doutez.

Égalité entre matrices

On reste dans la souplesse et l’intuition avec l’égalité entre matrice.
Comme pour l’addition, cela fonctionne aussi comme vous pouvez vous y attendre.
Si chaque terme de la matrice A est égal au terme correspondant de la matrice B (même ligne, même colonne), alors les deux matrices sont égales.
Comme vous pouvez le deviner, pour que deux matrices puissent être égales, il faut évidemment qu’elles soient du même type (même format : An=Bn, Ap=Bp).
Plus loin que cela, si l’on sait qu’une matrice A est égale à une matrice B, alors on peut en déduire ses termes inconnus.

A = \begin{pmatrix}2x & 5 & 4 \\ \frac{y}{2} & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}; B= \begin{pmatrix}6 & 5 & 4 \\ 6 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & z+1 \end{pmatrix}
Si A=B, alors x = \frac{6}{2} = 3, y = 2 \times 6 = 12 et z = 1-1 = 0 ;

Soustraction entre matrices

La soustraction entre matrice se fait également entre deux matrices de même type et se passe comme une soustraction de nombres.
Chaque terme de la matrice B sera soustrait au terme correspondant (même ligne, même colonne) de la matrice A.
Comme pour les soustractions de nombres, la soustraction de matrices n’est pas commutative (A – B != B – A)

\begin{pmatrix}2 & 5 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & 9 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 - 1 & 5 - 9 \\ 6 - 2 & 7 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -4 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix}1 & 9 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 & 5 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 - 2 & 9 - 5 \\ 2 - 6 & 1 - 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 4 \\ -4 & -6 \end{pmatrix} ;

Multiplication avec un scalaire

On démarre la multiplication avec le plus simple, la multiplication d’une matrice avec un scalaire.
Chaque terme de la matrice sera multipliée par le scalaire en question (nombre réel ou complexe).
Pour ce cas, la multiplication est commutative, c’est à dire que x \times A = A \times x .

2 \times \begin{pmatrix}2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \times 2 & 3 \times 2 & 4 \times 2 \\ 5 \times 2 & 6 \times 2 & 7 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 6 & 8 \\ 10 & 12 & 14 \end{pmatrix} ;

Multiplication entre matrices (produit matriciel)

On arrive sur quelque chose d’un peu moins simple (ou en tout cas moins intuitif).
La multiplication entre deux matrices n’est pas commutative, c’est à dire que A \times B \neq B \times A .

Sur deux matrices de même type

Afin de multiplier deux matrices entre elles, il faut procéder par étapes (pour l’exemple, A et B sont deux matrices à 2 lignes et 2 colonnes) :

  • On commence par la première ligne de la matrice A, on va la multiplier avec la première colonne de la matrice B
    • Pour chaque terme de la ligne de la matrice A, on va multiplier le terme correspondant sur la colonne de la matrice B
    • On additionne chacun des termes multipliés afin d’obtenir le premier terme du resultat (An1p1 x Bn1p1 + An1p2 x Bn2p1)
  • Une fois que le premier terme est trouvé, on passe à la deuxième colonne de la matrice B afin de trouver le second terme
    • L’opération est similaire : An1p1 x Bn1p2 + An1p2 x Bn2p2
  • On renouvelle l’opération pour chaque ligne de A

Si vous avez suivi le produit scalaire, alors vous allez certainement faire rapidement le lien, pour chaque ligne de A, on va effectuer le produit scalaire avec chaque colonne de B.

Ok, c’est plutôt dur d’essayer d’expliquer, c’est pourquoi j’ai fait un petit dessin qui pourra certainement éclairer vos lanternes.

Pour l’équation suivante : \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}7 & 8 \\ 9 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \times 7 + 3 \times 9 & 2 \times 8 + 3 \times 10 \\ 5 \times 7 + 6 \times 9 & 5 \times 8 + 6 \times 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}41 & 46 \\ 89 & 100 \end{pmatrix}

multiplication de matrices

Afin de vérifier la règle de non-commutativité, voici le résultat de B x A :

\begin{pmatrix}7 & 8 \\ 9 & 10 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \times 2 + 8 \times 5 & 7 \times 3 + 8 \times 6 \\ 9 \times 2 + 10 \times 5 & 9 \times 3 + 10 \times 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 54 & 69 \\ 68 & 87 \end{pmatrix}

On a ainsi pu vérifier que A x B != B x A

Sur deux matrices de types différents

Tout d’abord, gardez ça quelque part en tête, si le nombre de colonnes de la matrice A est différent du nombre de lignes de la matrice B, alors la multiplication est impossible (si Ap != Bn alors A x B n’existe pas);

Sinon, il n’y a pas grand chose de plus à ajouter, le produit s’effectue de la même manière qu’entre deux matrices de même type, c’est à dire que l’on effectue le produit scalaire de chaque ligne de A avec chaque colonne de B :

\begin{pmatrix}7 & 8 & 11 \\ 9 & 10 & 12 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 5 & 6 \\ 14 & 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \times 2 + 8 \times 5 + 11 \times 14 & 7 \times 3 + 8 \times 6 + 11 \times 15 \\ 9 \times 2 + 10 \times 5 + 12 \times 14 & 9 \times 3 + 10 \times 6 + 12 \times 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}208 & 234 \\ 236 & 267\end{pmatrix}

 

A suivre !

L’article est déjà plutôt dense et ce qui arrive risque de provoquer une implosion cérébrale, je pense qu’il est donc temps de nous quitter jusqu’à la suite sur les matrices.
On aura du déterminant, de l’inversion, et d’autres trucs fabuleux qui vous donneront certainement l’occasion d’utiliser votre vieille boîte de SMECTA (article non sponsorisé) achetée lors de la dernière épidémie de gastro-entérite.
Stay tuned !